Hubungan antara Keliling dan Luas Lingkaran
Untuk memahami hubungan antara keliling dengan luas
lingkaran Anda harus paham dengan konsep keliling lingkaran dan luas lingkaran.
Hubungan antara keliling dengan luas lingkaran cocok digunakan untuk menjawab soal-soal
ulangan umum dan ujian nasional yang bentuk soalnya berupa pilihan ganda karena membutuhkan waktu yang singkat.
Jika Anda mampu menguasai materi tentang
hubungan keliling lingkaran dengan luasnya, Anda tidak perlu mencari jari-jari
atau diameternya jika yang diketahui keliling atau luasnya saja. Bagaimana
caranya? Sekarang coba simak baik-baik pembahasan berikut ini.
Kita gunakan rumus keliling lingkaran dengan
mencari jari-jarinya, misalkan keliling lingkaran K dan luasnya L, maka:
K = 2πr => r = K/2π
Sekarang substitusi persamaan jari-jari r ke
rumus luas lingkaran, maka:
L = πr2
L = π(K/2π)2
L = π.K2/4π2
L = K2/4π
Dari persamaan hubungan antara keliling
lingkaran dengan luasnya juga bisa dicari hubungan kebalikannya yaitu hubungan
antara luas lingkaran dengan kelilingnya, yakni:
L = K2/4π
K2 = 4πL
K = √(4πL)
Sekarang coba perhatikan contoh soal berikut ini
tentang hubungan keliling lingkaran dengan luasny atau sebaliknya.
Cara Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Jika Jari-jari berubah
Misalkan sebuah lingkaran memiliki jari-jari r1 akan diperbesar
sehingga jari-jarinya menjadi r2 dimana r2 > r1. Jika luas lingkaran
semula adalah L1 serta luas lingkaran setelah mengalami perubahan
jari-jari adalah L2 maka selisih luas kedua lingkaran tersebut adalah
sebagai berikut.
L2 – L1 = πr2² – πr1²
L2 – L1 = π (r2² – r1²)
L2 – L1 = π (r2 – r1) (r2+r1)
Apabila keliling lingkaran semula adalah K1 selanjutnya keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K2 maka selisih keliling kedua lingkaran adalah sebagai berikut.
K2 – K1 = 2πr2 – 2πr1
K2 – K1 = 2π (r2 – r1)
Kita juga dapat menghitung perbandingan luas serta keliling limgkaran jika besarnya jari-jari berubah.
Perbandingan luas kedua lingkaran tersebut yaitu sebagai berikut.
L2 : L1 = πr2² : πr1²
L2 : L1 = r2² : r1²
selanjutnya perbandingan kelilingnya yaitu sebagai berikut.
K2 : K1 = 2πr2 : 2πr1
K2 : K1 = r2 : r1
Berdasarkan uraian tersebut kita dapat simpulkan bahwa lingkaran yang berjari-jari r1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r2 dimana r2>r1 maka selisih dan perbandingan luas serta kelilingnya sebagai berikut.
Hitunglah selilih serta perbandingan luas serta keliling lingkaran yang berjari-jari 4cm dan 6cm?
Penyelesaian :
Diketahui :
r1 = 4cm
r2 = 6cm
Ditanya : perbandingan serta selisih luas dan kelilingnya?
Jawab :
Selilih Luas
L2 – L1 = π (r2 – r1 ) (r2 + r1)
L2 – L1 = π (6 – 4) (6 + 4)
L2 – L1 = π × 2 × 10
L2 – L1 = 20π cm²
Selisih keliling
K2 – K1 = 2π (r2 – r1)
K2 – K1 = 2π (6 – 4)
K2 – K1 = 2π (2)
K2 – K1 = 4π cm
Perbandingan luas
L2 : L1 = r2² : r1²
L2 : L1 = 6² : 4²
L2 : L1 = 36 : 16
L2 : L1 = 9 : 4
Perbandingan keliling
K2 : K1 = r2 : r1
K2 : K1 = 6 : 4
K2 : K1 = 3 : 2
Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring
2.
Hitunglah :
α : 360° = luas per potong pizza : luas lingkaran
Sumber:
L2 – L1 = πr2² – πr1²
L2 – L1 = π (r2² – r1²)
L2 – L1 = π (r2 – r1) (r2+r1)
Apabila keliling lingkaran semula adalah K1 selanjutnya keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K2 maka selisih keliling kedua lingkaran adalah sebagai berikut.
K2 – K1 = 2πr2 – 2πr1
K2 – K1 = 2π (r2 – r1)
Kita juga dapat menghitung perbandingan luas serta keliling limgkaran jika besarnya jari-jari berubah.
Perbandingan luas kedua lingkaran tersebut yaitu sebagai berikut.
L2 : L1 = πr2² : πr1²
L2 : L1 = r2² : r1²
selanjutnya perbandingan kelilingnya yaitu sebagai berikut.
K2 : K1 = 2πr2 : 2πr1
K2 : K1 = r2 : r1
Berdasarkan uraian tersebut kita dapat simpulkan bahwa lingkaran yang berjari-jari r1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r2 dimana r2>r1 maka selisih dan perbandingan luas serta kelilingnya sebagai berikut.
L2 – L1 = π (r2 – r1) (r2 + r1)
K2 – K1 = 2π (r2 – r1)
L2 : L1 = r2² : r1²
K2 : K1 = r2 : r1
Perhatikan contoh soal berikut.Hitunglah selilih serta perbandingan luas serta keliling lingkaran yang berjari-jari 4cm dan 6cm?
Penyelesaian :
Diketahui :
r1 = 4cm
r2 = 6cm
Ditanya : perbandingan serta selisih luas dan kelilingnya?
Jawab :
Selilih Luas
L2 – L1 = π (r2 – r1 ) (r2 + r1)
L2 – L1 = π (6 – 4) (6 + 4)
L2 – L1 = π × 2 × 10
L2 – L1 = 20π cm²
Selisih keliling
K2 – K1 = 2π (r2 – r1)
K2 – K1 = 2π (6 – 4)
K2 – K1 = 2π (2)
K2 – K1 = 4π cm
Perbandingan luas
L2 : L1 = r2² : r1²
L2 : L1 = 6² : 4²
L2 : L1 = 36 : 16
L2 : L1 = 9 : 4
Perbandingan keliling
K2 : K1 = r2 : r1
K2 : K1 = 6 : 4
K2 : K1 = 3 : 2
Hubungan antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring
Sudut
pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat
lingkaran. Pada gambar di samping, ˂AOB = α adalah sudut pusat lingkaran. Garis
lengkung AB disebut busur AB dan daerah yang diraster (diarsir) disebut juring.
Hubungan
antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah sebagai berikut.
Sekarang
perhatikan Gambar di atas tersebut. Dari gambar tersebut diperoleh
Sekarang,
misalkan ∠ COD =
satu putaran penuh = 360° maka keliling lingkaran = 2πr, dan luas lingkaran = πr2 dengan r
jari-jari, akan tampak seperti Gambar di atas, sehingga diperoleh
Dengan
demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng
AB pada Gambar di atas adalah
panjang
busur AB = (α : 360°)
x 2πr
luas
juring OAB = (α : 360°)
x πr2
luas
tembereng AB = luas juring OAB – luas Δ AOB.
Contoh
Soal Tentang Hubungan Antara Sudut Pusat, Panjang Busur, Dan Luas Juring
Perhatikan
Gambar di atas. Diketahui panjang jari-jari OA = 28 cm. Jika besar ∠ AOB = 90°,
hitunglah
- panjang AB ;
- luas juring OAB;
- luas tembereng AB.
Penyelesaian:
1. Panjang AB = (∠ AOB : 360°)
x 2πr
Panjang
AB = (90°: 360°) x 2 x 22/7 x 28 cm
Panjang
AB = (1/4) x 2 x 22/7 x 28 cm
Panjang
AB = 44 cm
2. Luas
juring OAB = (∠ AOB : 360°)
x πr2
Luas
juring OAB = (90° : 360°) x 22/7 x (28 cm)2
Luas
juring OAB = (1/4) x 22/7 x 28 x 28 cm2
Luas
juring OAB = 616 cm2
3. Karena
besar sudut AOB = 90°, maka Δ AOB adalah
Δ
siku-siku sisi 10 cm, sehingga
Luas Δ AOB
= ½ alas x tinggi
Luas Δ AOB
= ½ x 28 cm x 28 cm
Luas Δ AOB
= 392 cm2
Luas
tembereng AB = luas juring AOB – luas ΔAOB
Luas tembereng AB = 616 cm2 – 392 cm2
Luas
tembereng AB = 224 cm2
Menggunakan Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur,
Luas Juring dalam Kehidupan Sehari-hari
Contoh :
1.
Sebuah roda mempunyai 8 jeruji dengan jari-jari 28cm. Besar sudut
roda 360◦. Tentukan:
a
a. Besar
sudut antar jeruji (α)
b. Panjang
busur AB
Pembahasan:
Diketahui: r = 28 cm
Besar
sudut roda = 360◦
Ditanya: a. α
b.
panjang busur AB
Jawab: a. Keliling = 2ᴫr
= 2 x 22/7
x 28 cm
= 176 cm
α = 360° : jumlah jeruji
= 360° : 8
=
45°
b.
α : 360° = panjang busur AB : keliling lingkaran
45° : 360°= panjang busur AB : 176 cm
1 : 8 = panjang busur AB : 176 cm
panjang busur AB = 176 cm : 8
panjang busur AB = 22 cm
Sebuah pizza dipotong menjadi 6 bagian. Sudut
setiap potong pizza sebesar 60◦. Panjang busur PQ sebesar 22 cm.
Hitunglah :
a. r
b.
luas per potong pizza
Pembahasan:
Diketahui: Jumlah
potongan pizza = 6 bagian
α
= 60o
Panjang
busur PQ = 22 cm
Ditanya: a.
r
b.
luas per potong pizza
Jawab: a. α : 360° = panjang busur PQ : keliling lingkaran
60° : 360°= 22 cm : keliling lingkaran
1 : 6 = 22 cm : keliling lingkaran
keliling lingkaran = 22 cm x 6
keliling lingkaran = 132 cm
keliling lingkaran = 2ᴫr
132
cm = 2 x 22/7x r
r
= (132 cm x 7) : 44 cm
r = 924 cm : 44 cm
r
= 21 cm
b. Luas
lingkaran = ᴫr2
= 22/7 x (21 cm)2
= 22/7 x 441 cm2
=
1386 cm2
60° : 360° = luas per potong pizza : 1386 cm2
luas per potong pizza = 1386 cm2 : 6
luas per potong pizza = 231 cm2
